23 марта 2011 года стало известно, что Норвежская академия наук присудила премию Абеля американскому математику Джону Милнору. 80-летний Милнор, который в настоящее время трудится в Нью-йоркском университете Стоуни-Брук, удостоился награды за вклад в дифференциальную геометрию, топологию и алгебру. Награда эта, учрежденная в честь легендарного Нильса Абеля, вручается самым выдающимся математикам современности за вклад в развитие науки.

Об узлах и экзотических сферах

Представим теперь, что вам выдали на руки математический узел и просят его распутать. Вообще говоря, это непросто, особенно если запутыванием занимался действительно серьезно относившийся к своему делу человек. Возникает вопрос, а можно ли как-то узнать заранее, чтобы не трудиться понапрасну, тривиальный это узел или нет?

В 1950 году, изучая эту задачу, Джон Милнор пришел к замечательному результату — оказывается, если узел не слишком кривой (то есть его полная кривизна достаточно мала), то узел точно можно развязать. Тут, правда, мы забегаем вперед — чтобы более точно сформулировать результат, необходимо ввести еще несколько определений.

Второе открытие Милнора, о котором пойдет речь, более сложное и относится к дифференциальной топологии — разделу математики, существующему на стыке дифференциальной геометрии и топологии. Более того, на самом деле это открытие в значительной степени заложило основы самого этого раздела, однако не суть.

В случае все тех же функций из определения производной известно, что дифференцируемая функция заведомо непрерывна. Аналогичным образом получается, что две диффеоморфные поверхности заведомо гомеоморфны. Однако верно ли, что соотношение диффеоморфности — «более тонкое», чем гомеоморфность? То есть верно ли, что существуют две эквивалентные в смысле топологии поверхности, которые не эквивалентны в смысле дифференциальной геометрии? До середины прошлого века математики были убеждены, что ответ на этот вопрос — положительный, но конкретные примеры отсутствовали.

В 1956 году Джон Милнор стал первым, кому удалось доказать существование подобных объектов, которые он назвал экзотическими сферами. Он наткнулся на поверхность, «напоминающую» семимерную сферу. По его собственным словам, вначале он подумал, что привел контрпример к многомерной гипотезе Пуанкаре, однако, как оказалось, открытое им многообразие (в математических терминах — S3-расслоение над S4) гомеоморфно стандартной сфере, но не диффеоморфно ей. Чуть позже Эгберт Брискорн показал, что подобные поверхности возникают естественным образом в ходе изучения алгебраических поверхностей с особенностями в десятимерном пространстве. Всего таких экзотических сфер оказалось 28 штук.

Вместо заключения

Уже эти два результата сами по себе могли бы служить любому математику поводом для гордости. Для Милнора же это серьезные, но далеко не самые глобальные достижения. Ведь есть еще гипотеза Милнора, слоение Милнора, отображение Милнора и множество других объектов…

Андрей Коняев