(zero-sum game) Состязание, в котором проигрыш одного игрока равнозначен выигрышу другого.

Игры можно разделить на две категории: с нулевой и с ненулевой суммой. Если сумма выигрышей всех игроков остается постоянной при любых вариантах исхода игры, ее относят к категории игр с постоянной суммой. Но поскольку математически выплаты могут быть смещены по шкале, удобнее и нормальнее называть их играми с нулевой суммой.

В игре с нулевой суммой при любом варианте ее исхода выигрыш победителя (победителей) всегда равен убытку проигравшего (проигравших). Большинство игр в обычном смысле слова, без избирательного вмешательства извне, являются именно такими играми. К ним принадлежат, в частности, шахматы и футбол (даже если какая-то посторонняя организация присуждает за победу установленную награду). Однако футбольная игра, в которой игрокам платят за то, чтобы они сыграли вничью, или игра в слова (в которой игроки получают очки, составляя слова из случайных разрозненных букв), где награда дается за наибольшую сумму набранных очков, представляют собой примеры игр с нулевой суммой.

Такое определение предпочтительнее чем «с положительным результатом» или «с отрицательным результатом». Несмотря на широкое употребление двух последних определений, они обычно создают путаницу, а иногда и оказываются неверными, т.к. не дают точного определения тому, с чем сравнивать положительный результат.

В 1944 г. Дж. фон Нейман и О. Моргенштерн выдвинули теорию, согласно которой во всех играх с нулевой суммой и двумя участниками существует особое равновесие, когда каждый участник выбирает стратегию, которая сводит до минимума его потери при любой возможной стратегии противника (см. также: «Минимакс»; «максимин»). Это элегантное математическое построение имеет ограниченное практическое значение, хотя и свидетельствует о существовании оптимальной стратегии игры в шахматы. К счастью, эта стратегия до сих пор не найдена. Игры с нулевой суммой имеют в политике менее формальное значение.

Если в игре участвуют два партнера, объединение между ними не возможно; при большем количестве игроков возникают широкие, часто безграничные возможности создания временных коалиций одной части игроков против другой. Поэтому игры с образованием коалиций имеют нулевую сумму. Некоторые авторы причисляют к этой категории и другие политологические игры, например, гонку вооружений или промышленный конфликт. Это неизменно приводит к мрачным прогнозам, поскольку в данных случаях исключается длительное взаимодействие.

Игры с ненулевой суммой дают игрокам возможность взаимодействия для получения оптимального результата. Это остается в силе независимо от того, подразумевает игра взаимодействие или нет. Даже в игре без взаимодействия, например в «дилемме заключенных» (prisoners dilemma), игроки имеют возможность размышлять о ходе мыслей противника. В повторяющихся играх без взаимодействия игроки могут координировать свои действия на основе равновесия взаимодействия (более высокого по уровню) (см: суперигра). Большинство политологических игр, кроме игр с образованием коалиций, наверное, лучше всего рассматривать как игры с ненулевой суммой".

На спекулятивных финансовых рынках для совершения сделки необходимо наличие как покупателя, так и продавца. Поэтому такие рынки похожи на игру с нулевым результатом, когда для выигрыша одной стороны обязательно требуется проигрыш другой.

На самом деле, игра с нулевым результатом — не совсем точное определение, поскольку участники рынка, особенно с небольшими капиталами, теряют деньги еще на спрэде и комиссионных. Поэтому для них условия еще более жесткие, чем при игре с нулевым результатом, что увеличивает рискованность этих рынков. Кроме того, при определенном экстремальном уровне цен на рынке может возникнуть ситуация, когда по этой цене можно не найти покупателя или продавца для совершения сделки, что приводит к потери ликвидности рынка.

FOREX представляет собой специфический рынок. Во-первых, как мы уже говорили, на этом рынке определяется «цена цены», т. е. цена денег с помощью денег. Во-вторых, он более подвижный и ликвидный, чем другие. Например, если у вас есть акции предприятия, то вы можете только продать эти акции и получить деньги. То есть на всех остальных рынках у вас идет обмен денег на специфический финансовый товар. На FOREX вы можете торговать маркой против доллара, йены, стерлинга, итальянской лиры и т.д.

Поэтому объем валюты, используемой на отдельном рынке (например, на рынке марка-доллар), постоянно изменяется. К тому же деньги все время перетекают и на другие рынки. Так, при повышении доходности ценных бумаг деньги перетекают с валютного рынка в ценные бумаги и т. п.

Поэтому FOREX достаточно специфический рынок, который трудно охарактеризовать как чистую игру с нулевым результатом. Например, прибыль при спекуляциях на курсе немецкой марки к американскому доллару может компенсироваться потерями от спекуляций на кросс-курсе немецкой марки к итальянской лире или на курсе стерлинга к доллару. Кроме того, потеря ликвидности FOREX — практически невозможная вещь. То есть вы всегда можете совершить нужную вам сделку. Такая ликвидность обеспечивается за счет огромного количества участников.

Антагонистическая игра (игра с нулевой суммой, англ. zero-sum) — термин теории игр. Антагонистической игрой называется некооперативная игра, в которой участвуют два игрока, выигрыши которых противоположны.
Формально антагонистическая игра может быть представлена тройкой <X, Y, F>, где X и Y — множества стратегий первого и второго игроков, соответственно; F — функция выигрыша первого игрока, ставящая в соответствие каждой паре стратегий (ситуации) (x,y), x \in X, y \in Y действительное число, соответствующее полезности первого игрока при реализации данной ситуации. Так как интересы игроков противоположны, функция F одновременно представляет и проигрыш второго игрока.
Исторически антагонистические игры являются первым классом математических моделей теории игр, при помощи которых описывались азартные игры. Считается, что благодаря этому предмету исследования теория игр и получила свое название. В настоящее время антагонистические игры рассматриваются как часть более широкого класса некооперативных игр.

Простейшим примером антагонистической игры является игра «Орлянка». Первый игрок прячет монету орлом или решкой вверх, а второй пытается угадать, как она спрятана. Если он не угадывает — он платит первому одну денежную единицу, если угадывает — первый платит ему одну денежную единицу.
В данной игре каждый участник имеет две стратегии: «орел» и «решка». Множество ситуаций в игре состоит из четырех элементов. В строках таблицы указаны стратегии первого игрока х, в столбцах — стратегии второго игрока y. Для каждой из ситуаций указаны выигрыши первого и второго игроков.
В аналитическом виде функция выигрыша первого игрока имеет следующую форму:

где x ∈ X и y ∈ Y — стратегии первого и второго игроков, соответственно.
Так как выигрыш первого игрока равен проигрышу второго, то F_2(x,y)= -F_1(x,y).
Если результат полностью определяется игроком, совершившим последний ход (если правила хода идентичны для игроков), стратегия может быть найдена с помощью функции Гранди.

Не думаю, что Путин после разговора с Обамой готов взять свои слова назад. Это было бы, мягко говоря, провалом.